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椭圆及其标准方程

2006-01-08 00:00:00来源:关注:



§2.7椭圆及其标准方程

【指导思想】

本课时是数学思想方法与学生思维动手并举,贯彻“学生为主体,教师为指导”的教学原则,如椭圆定义的归纳概括,焦点在y轴上的椭圆标准方程的迁移都体现了数学思想方法,方程的推导过程充分体现学生动手思维能力,力求体现素质教育的精神.

【教学目的】

1.使学生理解椭圆的定义并掌握椭圆标准方程,通过定义的导入使学生学习归纳概括能力,通过标准方程的推导培养学生的计算能力

2.正确把握两种标准方程及图形的异同

【教学重点】定义及标准方程

【教学难点】标准方程的推导过程

【教学方法】引导探究法

【教学用具】一根线和两个图钉

【教学课时】二课时¾第一课时

【教学过程】



.复习引入:

老师:在实际生活中,我们经常见到:汽车上拉的油罐的横截面、一些家俱上的镜子的外框线、卫星的运行轨道等等,都是椭圆,那么椭圆是如何定义的呢?

老师:拿一根线在其两端拴两个图钉,把图钉钉在黑板上两点F1F1,使F1F2的长小于线长,用粉笔把线拉紧,使粉笔头在黑板上慢慢移动,就画出了椭圆.

根据我们的作图过程让学生自己总结椭圆的定义.

.新授:

学生:1. 定义:平面内与两个定点F1F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

2.定义理解:

老师:提出问题:同学们是否想过如果刚才的常数小于或等于|F1F2|,那么点的轨迹又如何呢?

学生:让同学们讨论以后回答.老师:进一步强调常数大于|F1F2|的重要性.

3.标准方程的推导:

首先请同学们回忆:

师生:(1)求曲线方程有几步?(2)选择坐标系的原则和方法是什么?

学生:结合本题请同学们讨论该问题应如何选择坐标系,结合学生建立坐标系的情况,让学生在不同的坐标系中推导椭圆方程.

老师:首先提醒学生令|F1F2|=2c,常数为2a(至于原因后面再解释)

学生:在学生推导过程中,根据学生推导情况提示学生化简带两个根号相加的等式时应注意的方式方法.

老师:化简过程中当出现(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2- c2),a2- c2=b2,把方程化简成下列形式:

x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)

以上方程叫做椭圆的标准方程

老师:注意:(1)推导方程时,只所以令|F1F2|=2c,令定长等于2a, a2- c2=b2,这是为什么?

师生:其一是为了标准方程形式上简单而矣. 其二这样的b有其几何意义.

老师:从推导结果看选取坐标系时,取线段的中点为坐标原点比取线段的端点为坐标原点更好.请思考为什么?

  学生:学生回答,必要时教师可从对称角度提示学生考虑.

老师:利用迁移和发散思维方法请同学们推测,如果把F1F2放在y轴上, F1F2的中点选为原点,那么椭圆的标准方程又如何呢?图形如何?

学生:y2/a2+x2/b2=1(a>b>0)

师生:4.两种标准方程的共同点:

(1)a>b>0

(2)c2= a2 - b2

(3)焦点总在分母大的哪个分数的分子所代表的坐标轴上,反之亦然

(4)Ax2+By2=C,只要ABC同号,就是椭圆的方程.

5.例题

老师:平面内两个定点的距离为8,写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹的方程.

师生:解:由定义轨迹是椭圆,2a=10,2c=8, 

a=5,c=4, b=3.

选取上面推导标准方程的两种坐标系,这个椭圆的标准方程是

x2/25+y2/9=1y2/25+x2/9=1

【课堂练习】P 116 23

【课堂小结】师生共同小结:

1.正确理解定义,特别是定义中的2a>2c的含义

2.认真领会椭圆标准方程的推导过程,要注意运算技巧

3.把握两种标准方程的异同点

【课后作业】P117123

【教学后记】 

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